A ver vamos por partes.
Lo primero, es importante que seá high Level o de nivel alto. Esto significa que para cerrar el circuito y encender la caldera hay que aplicar corriente.
Esto tiene la ventaja de que si el esp tiene cualquier problema y se apaga, circuito se abre al perder corriente y la caldera se apagará.
Ahora bien, con un low Level ocurre lo contrario. Si el esp pierde corriente, el circuito se cierra y la caldera se enciende. Mal asunto.
El segundo que has puesto de eBay es un low Level, así que no sirve.
Yo presupongo que tú relé está bien. O no están bien las conexiones, o el relé no recibe suficiente corriente. Quizás el cable USB con el que lo alimentas sea mediocre o el cargador o puerto al que lo conectas no da buenos 5v.
Pero no suele ser lo normal que el relé te llegue estropeado.
Mañana Googleare un poco a ver dónde puedes encontrar uno high Level… Pro yo revisaría tu instalación. Algo no está bien casi seguro.
Los cables de protoboarding son buenos? El sensor lo tienes en la misma placa o aparte?